Szerencsés szám-e a 2009? - Matematika feladatok

A teljes feladatgyujtemény letöltése PDF formátumban

Versenyfeladatok a 2009-es számra a 6-12 évfolyam részére

1) Vizsgáljuk ki, hogy a 2009-es szám prím- vagy összetett szám-e?

Felírható-e a 2009 szám két prímszám szorzataként, hányadosaként, különbségeként, összegeként?

Megoldás: A 2009 nem prímszám, mert felírható 7² és 41 szorzataként, az is látszik hogy csak három prímszám szorzataként állítható elő. Ha feltételezzük, hogy 2009 két prím hányadosa, akkor ellentmondáshoz jutunk. Viszont csak egyféle módon írható le két prím különbségeként: 2011-2, mert az egyedüli páros prím a 2-es szám. Két prím összegeként viszont nem állíthatjuk elő, mert egyfelől2+2007 nem megfelelő, hiszen 2007 nem prímszám, ugyanis osztható 9-cel, de két páratlan prímszám összegeként sem kaphatjuk meg, mert két páratlan számösszege páros!

2) Milyen számok a 0,20092009... ill a 0,29209200920009...?

Ha töröljük a 2009. számjegyet akkor kisebb vagy nagyobb számot

kapunk?

Megoldás: A 0,20092009...= x racionális szám, mert felírható két relatív prímszám hányadosaként azaz x = 2009/9999 (minden szakaszosan ismétlődő tizedes szám racionális szám!), de a 0,29209200920009... nem racionális vagyis irracionális szám.

Az első számnál a 2009. számjegy a 2, mert 2009 = 502x4+1, így az új szám kisebb. A másodiknál azonban a számjegyek száma 2+3+4+...+n=2009, amiből az n(n+1)= 4020 egyenlet adódik. Mivel63 x 64 = 4032, tehát 0-át törlünk, a 9-es előbbre kerül, így nagyobb számot kapunk.

3) Milyen számvariációkkal és műveletekkel tudjuk előállítani a 2009-es számot?

Megoldás: Nagyon sokféle számvariációt írhatunk le - bemutatunk néhányat!

2009=2002 + 9 - 2; 2009= 999 x 2+9+2;

2009 = (1+1)¹¹ – (11+1+1) (1+1+1);

2009 = 9!/ (2 ·9)² + 2⁹ + 9² (2² + 2⁰) – (9-2) 2²

4) Hányféleképpen bontható fel a 2009

a) két négyzetszám különbségeként?

b) két négyzetszám összegeként?

Megoldás:

a.) x² – y²= (x-y) (x+y)= (1)( 2009)=(7)( 287)= (41)( 49)

Tehát 12 lehetőség van - próbáld ki, hogy ezek mind megoldások-e!

b.) Az x² + y²=2009, ha a négyzetszámok összegének végződése 9, ez pedig akkor áll fenn, ha az x², y² végződése 0 ill 9 vagy 9 ill 0 vagy 4 ill 5 vagy 5 ill 4, tehát a lehetőségek száma 4·4 azaz 16, mert az előjelek váltakozását is figyelembe kell venni! (megjegyzés:(2)² =4!)

5) Van-e olyan sokszög, amelynek 2009 átlója van?

Megoldás: Mivel az n oldalú sokszög átlóinak száma n(n-3)/2 , azonban nem található olyan n természetes szám, amelyre ez egyenlő lenne 2009-cel!

6) Hány olyan szám van, amelyből elvéve a számjegyek összegét, az eredmény 2009?

Megoldás: Nincs ilyen szám, ugyanis egy n szám 9-cel osztva ugyanazt a maradékot adja, mint a szám számjegyeinek az S(n) összege, ekkor az n-S(n) osztható kell, hogy legyen 9-cel, viszont a 2009 nem osztható 9-cel!

7) Egy 9-cel osztható 2009-jegyű szám számjegyeinek összege A, az A szám számjegyeinek összege B, a B szám számjegyeinek összege C. Mennyi a C értéke?

Megoldás: Az előző feladat megoldása alapján A, B, C számok is oszthatók 9-cel. Az A<2009 x 9= 18081 < 19000, míg a B<4 x 9 +1= 37, amelyből az következik, hogy a C<18 így csak 9 lehet a C szám!

8) Ha 29 papírlap közül valamennyit kiválasztunk és azok mindegyikét 10 darabra tépjük, majd az összes papírdarab közül ismét kiválasztunk néhányat és azokat 10-10 darabra vágjuk, majd ezt az eljárást néhányszor megismételjük. Egy idő után megszámláljuk és 2009 darabot számlálunk. Lehetséges-e ez?

Megoldás: Minden lépésben a tépett papírdarabok száma 9-cel osztható azaz a k-adik lépésben összesen S_k = 9 (n₁+n₂+...+n_k) +29=2009 a papírdarabok száma. Mivel az 1980 osztható 9-cel, így a számlálás helyes volt.

9) Vannak-e olyan egész számok, amelyek kielégítik a következő egyenleteket? Ha van megoldás, akkor hány van?

a) 2x + 9y = 2009

b) xy + x+ y = 2008

c) (x+4020) : (x+ 2) =2010

d) 5x + y! =2009

e) 5x + y! =2010

Megoldás:

a) A 2x + 9y = 2009 egyenlet egy megoldása x₀ =1000 ill y₀ =1 és az általános megoldás x = 1000 + 9t ill y = 1 – 2t, ahol a t bármilyen egész szám lehet, így számtalan megoldás létezik.

b) Az egyenlet átalakítható szorzatra (x+1)(y+1)=(1)( 2009)=

=(7)( 287)= (41)( 49) , tehát 12 megoldás van.

c) tehát csak az x=0 a megoldás.

d) az y = 0, 1, 2, 3 nem megoldás, de az y = 4 esetén 5x = 1985 így az x =397. Viszont, ha az y >4 akkor a baloldal osztható 5-tel , de a 2009 nem osztható öttel, így nincs több megoldás.

e) a d) rész alapján, ha az y >4 akkor a baloldal osztható 5-tel és a 2010 is, így számtalan megoldás van.

10) Adott az a_n = 3n² + 3n + 7 ( ahol az n=1, 2, 3, ...) képlettel definiált számok sorozata.

a) A 2009 eleme-e ennek a sorozatnak?

b) Igazoljuk hogy a sorozat öt egymás után következő eleme között mindig van olyan elem, amelyik osztható 5-tel!

Megoldás:

a) a_n = 3 n(n+1) + 7= 2009 azaz 3 n(n+1)2002, mert a 2002 nem osztható3-mal, tehát a sorozatnak nem tagja a 2009.

b) Az n lehet 5k, 5k+1, 5k+2, 5k +3, 5k+4 alakúés könnyen igazolható, hogy az 5k+2 esetén a_n = 3(5k+2)² +3 (5k+2) +7 =75 k²+ 75k + 25 osztható öttel.

11) Milyen számokkal osztható a 9²⁰⁰⁹ - 2²⁰⁰⁹ szám?

Megoldás: Az A²ⁿ⁺¹B²ⁿ⁺¹ = (A B)(A²ⁿA^2n-1 B + A^2n-2 B^2…+ B²ⁿ) azonosság alapján 9²⁰⁰⁹ – 2²⁰⁰⁹ = (9-2) (9²⁰⁰⁸+…+ 2²⁰⁰⁸) tehát 7-tel osztható.

Vagy más módon:

(7+2)²⁰⁰⁹ -2²⁰⁰⁹ = 7n + 2²⁰⁰⁹ – 2²⁰⁰⁹ = 7 n, ahol az n természetes szám.

12) Mennyi maradékot ad 9²⁰⁰⁹-2²⁰⁰⁹ szám, ha 7-tel, vagy ha 5-tel osztjuk?

Megoldás:

9²⁰⁰⁹ – 2²⁰⁰⁹ == (7+2) ²⁰⁰⁹ – 2²⁰⁰⁹ = 7n+ 2²⁰⁰⁹ – 2²⁰⁰⁹ (mod 7) azaz nulla a maradék, ha 7-tel osztjuk, ahol n természetes szám.

9²⁰⁰⁹ – 2²⁰⁰⁹-1 -2 =-3(mod 5 ) tehát -3 a maradék , ha öttel osztjuk, mert

9²⁰⁰⁹ =(5 ·2-1)²⁰⁰⁹-1(mod 5) és 2²⁰⁰⁹ =2 (2⁴)⁵⁰² = 2 (15+1)⁵⁰²2 (mod 5).

13) Vajon teljes négyzet-e a 200008² + 200008² 200009² + 200009² szám?

Megoldás: Könnyebben átlátható a feladat, ha általánosan oldjuk meg !

a²+ a² (a+1)² + (a+1)² ==a² + a ⁴ +2 a³ + a²+ a² + 2 a + 1=

= a⁴ + 2 a³ + 3 a² + 2a +1= (a² +a+1)²

14) Hány egész megoldása van az adott egyenlőtlenségnek?

| |x| -1|< 2009

Megoldás: -2009< |x|-1 <2009 és az eggyel való bővítés után

-2008 < |x| < 2010 , de az |x| 0 ezért |x|< 2010 és így a megoldáshalmaz :

í-2009, ..., 0 , ..., 2009ý tehát összesen 4019 egész megoldása van.

15) A síkban adott 2009 pont, amelyek közül 29 kollineáris azaz egy egyeneshez illeszkednek.

Hány különböző

a) egyenest határoznak meg az adott pontok?

b) kört határoz meg a 2009 pont, ha közülük 29 pont egy körvonalon van?

Megoldás:

a) Két pont kiválasztásával határozzuk meg az egyenes számát, de a 29 kollineáris pont közül kettőt választva nem kapunk újabb egyeneseket, ezért azokat kivonjuk ill hozzáadunk egyet, a 29 pont egyenesét - így 2016631 különböző egyenes van: = 2017036-406 +1.

b) Az előzőhez hasonlóan a körök meghatározásánál 3-3 pontot választunk, így azok száma: =1 349 393 431.

16) Hány téglalapra osztja az adott téglalapot az oldalaival párhuzamos 2009-2009 darab egyenes?

Megoldás: Az adatok alapján 2011 vízszintes és 2011 függőleges egyenesünk van. Ezekből 2-2-tőt kiválasztva azok meghatároznak egy téglalapot, tehát azok száma pedig = 4,085·10¹²

17) Vizsgáljuk ki, hogy a 9²⁰⁰⁹ + 3²⁰⁰⁹ +1 prímszám-e!

Megoldás: Általánosan értelmezhetjük, mint

x⁴ + x² y²+ y⁴ = x⁴ +2 x² y²+ y⁴- x² y²=( x² +y²)²–(xy)² =

=(x²+y²-xy)(x²+y²+xy), tehát felbontható két egynél különböző szám szorzataként, így a 9²⁰⁰⁹ + 3²⁰⁰⁹ +1összetett szám.

18) Mennyi a 2009² – 2008² + 2007² – 2006² +...+3² -2² +1² ?

Megoldás: Kettesével csoportosítva és a négyzetek különbsége alapján felbontva a következő összeget kapjuk:

2009+2008+...+3+2+1 = (2009+1) 2009/2 = 2 019 045.

19)Antal és Béla felváltva változtatják a számok előtti előjelet az adott számkifejezésben *1 * 3 * 3² * ...*3^2009. Milyen módon tudják elérni, hogy a kapott eredmény osztható legyen 7-tel?

Megoldás: Észrevehetjük, hogy 2010 tényező van és mivel 1+ 3³ = 28, ennek alapján 3ⁿ +3ⁿ⁺³ =28·3ⁿ. Ezért akkor lesz a szorzat 7-tel osztható, ha a következő párok tagjainak előjele azonos: (3^6k+1, 3^6k+4); (3^6k+2, 3^6k+5); (3^6k+3, 3^6k+6), ahol k nemnegatív,tehát ha Béla mindig az András által kiválasztott szám párja elé teszi az azonos előjelet, akkor lesz a számkifejezés osztható 7-tel.

20) Igazoljuk, hogy a páratlan szám.

Próbáljuk meg általánosítani!

Megoldás: (ez páratlan szám!)

Könnyen beláthatóhogyígy aés ezt is helyettesítettük be.

21) Hány megoldása van az adott egyenletrendszernek?

x – y = 2007 ,

Megoldás: Egy x szám az egész és a tört részből áll azaz x = [x]+ íxý, ahol az

0 íxý<1. Ha az (x,y) megoldása az adott egyenletrendszernek , akkor az első egyenlet felírható a következő alakba

, amelyből az következik, hogy

vagyis mert .

Tehát

ezért és vagyis a

megoldáshalmaz M=, így az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.

22) Hány megoldása van az adott egyenletnek?

Megoldás: Mivel az >0 ezért az +2009 >0 vagyis > - 2009. Ha az =k és az =, ahol racionális szám , azaz = , p, q relatív prímek és q, q0, ekkor=k+2009 ahol k,p,qZ és q>1, akkor p=1 esetén q=k+2009 és k>-2008 azaz k=-2007-re a q=2 és az íxý=1/2 így az x=-2007+0,5=-2006,5. A k>-2007 esetén az x=k+ számok mindegyike kielégíti az adott egyenletet, így az egyenletnek megszámlálhatóan végtelen sok megoldása van.

23)Az adott függvénynek f(x)= mennyi a lehető legkisebb értéke?

Megoldás:

Az x-2x+2010=(x-1)+2009 2009 minden valós x szám esetén.

A logaritmus alapjának és a numeruszának felcserélésével a függvény a következő alakot veszi fel

f(x)= ,

ahol a Z = x-2x+2010=(x-1)+2009 , Z_min(x=1)=2009 és az alap kisebb mint 1, tehát az f(x) akkor lesz a lehető legkisebb, amikor a felveszi a maximumát. Tehát az x=1 értékére az f(x) =

Általánosítva: Minden valós x esetén az f(x) = ill minimuma -, ahol K egynél nagyobb etrmészetes szám.

24) Melyek azok az (x, y, z) rendezett egész számháromasok, amelyek kielégítik az x² +y² +z² =2²⁰⁰⁹ egyenletet?

Megoldás: A 2009 = 2x1004 +1 így ha az x = 2x₁ , y = 2y₁, z = 2z₁ behelyettesítése után az x₁² + y₁² + z₁² = 2²⁰⁰⁷ egyenletet kapjuk, amelyre újból alkalmazva ezt az eljárást ismételjük addig amíg el nem jutunk az

x_k² + y_k² + z_k² =2 egyenletig, amelynek 12 megoldása van és ezek a következők: (1,1,0);( 1,0,1);(0, 1, 1).

Az eredeti egyenlet megoldásai tehát a: ( 2¹⁰⁰⁴, 2¹⁰⁰⁴, 0), ( 2¹⁰⁰⁴,0, 2¹⁰⁰⁴ ), (0, 2¹⁰⁰⁴, 2¹⁰⁰⁴). Ajánlom a próba elvégzését!

25) Adott egy függvénysorozat a következő módon:

ahol n természetes szám.

Mennyi az értéke?

Megoldás: Alkalmazva a rekurzív képletet az ,

, , , az

, tehát hatos periódussal ismétlődik, így .Ennek alapján az

amelyből az következik, hogy az .

Remélem mindenki talált magának érdekes feladatokat és azok különleges megoldási módjait. Ajánlom, hogy próbálj más megoldási módozatokat találni -lehet, hogy a tiéd még „elegánsabb” lesz!

"Az ember csak azt érti meg, amire maga jön rá,
amit készen kap anélkül, hogy lélekben megdolgozna érte,
az egyik fülön be, a másikon ki." (Rényi Alfréd)